已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.(Ⅰ)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ
已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.(Ⅰ)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间....
已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.(Ⅰ)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
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(I)当a=2时,f(x)=x2-(2a+1)x+alnx=x2-5x+2lnx,
∴f′(x)=2x?5+
,
∴f′(1)=2-5+2=-1,
∵f(1)=1-5=-4,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:x+y+3=0.
(II)f′(x)=2x?(2a+1)+
=
,
令f′(x)=0,得x1=
,x2 =a.
①当a>
时,由f′(x)>0,得x>a,或x<
,
f(x)在(0,
),(a,+∞)是单调递增.
由f′(x)<0,得
<x<a,
∴f(x)在(
,a)上单调递减.
②当a=
时,f′(x)≥0恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
③当0<a<
时,由f′(x)>0,得0<x<a,或x>
,
∴f(x)在(0,a),(
,+∞)上单调增加,
由f′(x)<0,得a<x<
,
∴f(x)在(a,
)上单调递减.
④当a≤0时,由f′(x)>0,得x>
,
∴f(x)在(
,+∞)上单调递增.
由f′(x)<0,得0<x<
,
∴f(x)在(0,
)上单调递减.
∴f′(x)=2x?5+
2 |
x |
∴f′(1)=2-5+2=-1,
∵f(1)=1-5=-4,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:x+y+3=0.
(II)f′(x)=2x?(2a+1)+
a |
x |
2x2?(2a+1)x+a |
x |
令f′(x)=0,得x1=
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①当a>
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f(x)在(0,
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由f′(x)<0,得
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∴f(x)在(
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②当a=
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∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
③当0<a<
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∴f(x)在(0,a),(
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由f′(x)<0,得a<x<
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∴f(x)在(a,
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④当a≤0时,由f′(x)>0,得x>
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∴f(x)在(
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由f′(x)<0,得0<x<
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∴f(x)在(0,
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