已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.(Ⅰ)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ

已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.(Ⅰ)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.... 已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.(Ⅰ)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间. 展开
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Radical450
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(I)当a=2时,f(x)=x2-(2a+1)x+alnx=x2-5x+2lnx,
f(x)=2x?5+
2
x

∴f′(1)=2-5+2=-1,
∵f(1)=1-5=-4,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:x+y+3=0.
(II)f(x)=2x?(2a+1)+
a
x
=
2x2?(2a+1)x+a
x

令f′(x)=0,得x1
1
2
x2 =a

①当a
1
2
时,由f′(x)>0,得x>a,或x<
1
2

f(x)在(0,
1
2
)
,(a,+∞)是单调递增.
由f′(x)<0,得
1
2
<x<a

∴f(x)在(
1
2
,a)
上单调递减.
②当a=
1
2
时,f′(x)≥0恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
③当0<a<
1
2
时,由f′(x)>0,得0<x<a,或x>
1
2

∴f(x)在(0,a),(
1
2
,+∞
)上单调增加,
由f′(x)<0,得a<x<
1
2

∴f(x)在(a,
1
2
)上单调递减.
④当a≤0时,由f′(x)>0,得x>
1
2

∴f(x)在(
1
2
,+∞)上单调递增.
由f′(x)<0,得0<x<
1
2

∴f(x)在(0,
1
2
)上单调递减.
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