Question

如图（a）所示，在坐标xOy平面的第一象限内，有一个匀强磁场，磁感强度大小恒为B0，方向垂直于xOy平面，

如图（a）所示，在坐标xOy平面的第一象限内，有一个匀强磁场，磁感强度大小恒为B0，方向垂直于xOy平面，且随时间作周期性变化，如图（b）所示．规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正，一个质量为m，电量为q的正粒子，在t=0时刻从坐标原点以初速度v0沿x轴正方向射入，在匀强磁场中运动，经过一个磁场变化周期T（未确定）的时间，粒子到达第一象限内的某一点P，且速度方向沿x轴正方向（不考虑重力作用）（1）若点O、P连线与x轴之间的夹角为45°，则磁场变化的周期T为多大？（2）因点P的位置随着磁场周期的变化而变化，试求点P纵坐标的最大值为多少？此时磁场变化的周期又为多大？

Answer 1

解：（1）粒子仅受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动．当磁场方向改变时，粒子的绕行方向也随之改变．要使粒子随时间T到达点P，且∠POX=45°，则粒子应正好经历

T0

4

的逆时针绕行和

T0

4

的顺时针绕行（T₀为粒子在磁场中作匀速圆周运动的周期）．轨迹如图（a）所示．故磁场变化的周期为T=

T0

2

=

πm

qB

（2）磁场变化周期越大，圆弧越长，点P的纵坐标的值越大，但在磁场变化的一个周期T'内，每个圆弧不能超过半个圆，因此圆弧最长时应是第二个圆弧与y轴相切（因圆弧再长就将从y轴射向第二象限穿出磁场）．如图（b）所示．
设带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，则

.

OO1

＝

.

O2P

=R，

.

OO2

＝2R，

.

O1A

＝

(2R)2?R2

＝

3

R
所以点P的纵坐标为y=2R+

3

R=（2+

3

）

mv

qB

此时磁场的变化周期T'应等于带电粒子由O点运动至P点的时间
即 T'=

2π?2θ

ψ

又sinθ=<