Question

已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为______

已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为______．

Answer 1

由y=f（x）-a|x-1|=0得f（x）=a|x-1|，
作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x-1|的图象，
当a≤0，不满足条件，
则a＞0，此时g（x）=a|x-1|=

a(x?1) x≥1 ?a(x?1) x＜1

，
当-3＜x＜0时，f（x）=-x²-3x，g（x）=-a（x-1），
当直线和抛物线相切时，有三个零点，
此时-x²-3x=-a（x-1），
即x²+（3-a）x+a=0，
则由△=（3-a）²-4a=0，即a²-10a+9=0，解得a=1或a=9，
当a=9时，g（x）=-9（x-1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，
要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，
若a＞1，此时g（x）=-a（x-1）与f（x），有两个交点，
此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，
即x²+3x=a（x-1），整理得x²+（3-a）x+a=0，
则由△=（3-a）²-4a＞0，即a²-10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），
故答案为：（0，1）∪（9，+∞）