Question

若a，b∈R，且4≤a2+b2≤9，则a2-ab+b2的最小值是______

若a，b∈R，且4≤a2+b2≤9，则a2-ab+b2的最小值是______．

Answer 1

若a，b∈R，且4≤a2+b2≤9，则a2-ab+b2的最小值是___2___
设a=rsink，b=rcosk，则有
所以a²+b²-ab=r²(1-sinkcosk)
因为0.5≤1-sinkcosk≤1.5r²
所以0.5r²≤a²+b²-ab≤1.5
因为4≤a²+b²≤9
所以4≤r²≤9
所以2≤a²+b²-ab≤13.5

Answer 2

∵a，b∈R，且4≤a²+b²≤9
∴可令a=rcosθ，b=rsinθ  （2≤r≤3），
∴a²-ab+b²=r²cos²θ-r²sinθcosθ+r²sin²θ
=r²（1-sinθcosθ）=r²（1-

1

2

sin2θ），
由三角函数可知当sin2θ取最大值1且r取最小值2时，上式取到最小值2
故答案为：2