Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，其对角线交点为O，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22a

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，其对角线交点为O，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22a．（1）求证：面PAB⊥平面PDC；（2）求点O到面PAB的距离．

Answer 1

解答：（1）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，
所以CD⊥AD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PA，
又PA＝PD＝

2

2

AD，
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠PAD＝

π

2

，
即PA⊥PD，
因为CD∩PD=D，且CD、PD?面ABCD，
所以PA⊥面PDC，
又PA?面PAB，
所以面PAB⊥面PDC；
（2）解：因为PA=PD=

2

2

a，AD=a，所以PD⊥PA
因为面PAD⊥底面ABCD交线为AD，AB⊥AD，AB?面ABCD
所以AB⊥面PAD，所以有AB⊥PD，
因为PA∩AB=A，
所以PD⊥面PAB，即点D到面PAB的距离为|PD|
又因为O为线段BD的中点，所以点O到面PAB的距离为

|PD|

2

=

2

4

a．