Question

初中数学挑战题，求解。有关相似三角形的

已知△ABC的外心为O，P为外接圆弧AB上一点，由P向BO作垂线交AB于S，交BC于点T；由P向AO作垂线交AB于点Q，交AC于点R。证明PQ^2=QR·ST。
易证PQ=PS，然后呢？

急！

Answer 1

【设PR与圆O交于点M】
证明：连接AM、AP、BP
圆O中：OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵PG⊥OA，PH⊥OB
∴Rt△AGQ中：∠AQG+∠OAB=90°
Rt△BHS中：∠BSH+∠OBA=90°
∴∠AQG=∠BSH
又∠PQS=∠AQG，∠PSQ=∠BSH
∴∠PQS=∠PSQ
∴PQ=PS
设∠QPS=x°，则等腰△PQS中：∠PQS=∠PSQ=（180°-x）/2=90°- 1/2 x°
∴∠AQG=∠BSH=90°- 1/2 x
四边形PGOH中：∠PGO=∠PHO=90°
∴∠AOB=360°-∠PGO-∠PHO-∠QPS=360°-90°-90°-x=180°-x°
∴∠ACB=1/2 ∠AOB=（180°-x°）/2=90°- 1/2 x°
∴∠AQG=∠BSH=∠ACB
由∠AQG=∠ACB，且∠BAC公共得：△ABC∽△ARQ
由∠BSH=∠ACB，且∠ABC公共得：△ABC∽△TBS
∴△ARQ∽△TBS
∴QR：BS=AQ：ST
即BS·AQ=QR·ST

∵圆O中：OA⊥PM
∴由垂径定理得：弧AM=弧AP
∴∠PBS=∠APQ（等弧所对的圆周角相等）
又由∠PQS=∠PSQ得：
∠AQP=∠PSB（等角的补角相等）
∴△PAQ∽△BPS
∴PQ：BS=AQ：PS
∴BS·AQ=PQ·PS
即：PQ平方=BS·AQ
∴PQ平方=QR·ST

【很高兴为你解决以上问题，希望对你的学习有所帮助！】≤、≥ ∠

Answer 2