Question

如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF是

如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵矩形ABCD， ∴AB ∥ CD，AB=CD． ∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°， ∴AE ∥ CF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF． ∴四边形AECF为平行四边形． （2）△ACG是等腰三角形． 理由如下：∵AE ∥ FG， ∴∠G=∠GAE． ∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG=∠DAG． 又OA= 1 2 AC= 1 2 BD=OD， ∴∠ODA=∠DAO． ∵∠BAE与∠ABE互余，∠ADB与∠ABD互余， ∴∠BAE=∠ADE． ∴∠BAE=∠DAO， ∴∠EAG=∠CAG，∴∠CAG=∠G， ∴△CAG是等腰三角形．