Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（m+n）=f（m）+f（n）-2对任意m、n∈R恒成立，当x＞0时，f（x）＞2．（Ⅰ

定义在R上的函数f（x）满足：f（m+n）=f（m）+f（n）-2对任意m、n∈R恒成立，当x＞0时，f（x）＞2．（Ⅰ） 求证f（x）在R上是单调递增函数；（Ⅱ）已知f（1）=5，解关于t的不等式f（|t 2 -t|）≤8；（Ⅲ）若f（-2）=-4，且不等式f（t 2 +at-a）≥-7对任意t∈[-2，2]恒成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

证明：（Ⅰ）?x 1 ，x 2 ∈R，当x 1 ＜x 2 时，x 2 -x 1 ＞0， ∴f（x 2 -x 1 ）＞2f（x 1 ）-f（x 2 ） =f（x 1 ）-f（x 2 -x 1 +x 1 ） =f（x 1 ）-f（x 2 -x 1 ）-f（x 1 ）+2 =2-f（x 2 -x 1 ）＜0， 所以f（x 1 ）＜f（x 2 ）， 所以f（x）在R上是单调递增函数…（4分） （Ⅱ）∵f（1）=5， ∴f（2）=f（1）+f（1）-2=8， 由f（|t 2 -t|）≤8得f（|t 2 -t|）≤f（2） ∵f（x）在R上是单调递增函数，所以 | t 2 -t|≤2?-2≤ t 2 -t≤2? t 2 -t≤2 t 2 -t≥-2 ? -1≤t≤2 t∈R ?t∈[-1，2] …（8分） （Ⅲ）由f（-2）=-4得-4=f（-2）=f（-1）+f（-1）-2?f（-1）=-1 所以f（-3）=f（-2）+f（-1）=-4-1-2=-7， 由f（t 2 +at-a）≥-7得f（t 2 +at-a）≥f（-3） ∵f（x）在R上是单调递增函数， 所以t 2 +at-a≥-3?t 2 +at-a+3≥0对任意t∈[-2，2]恒成立． 记g（t）=t 2 +at-a+3（-2≤t≤2） 只需g min （t）≥0．对称轴 t=- a 2 （1）当 - a 2 ≤-2?a≥4 时， g min (t)=g(-2)=4-2a-a+3≥0?a≤ 7 3 与a≥4矛盾． 此时a∈? （2）当 -2＜- a 2 ＜2?-4＜a＜4 时， g min (t)= 4(3-a)- a 2 4 ≥0?-6≤a≤2 ， 又-4＜a＜4，所以-4＜a≤2 （3）当 - a 2 ≥2?a≤-4 时，g min （t）=g（2）=4+2a-a+3≥0?a≥-7 又a≤-4 ∴-7≤a≤-4 综合上述得：a∈[-7，2]…（14分）