Question

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2（n∈N*），且a1=2，a2=1（Ⅰ）求k的值和Sn的表达式；（Ⅱ）是否

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2（n∈N*），且a1=2，a2=1（Ⅰ）求k的值和Sn的表达式；（Ⅱ）是否存在正整数m，n，使Sn?mSn+1?m＜12成立？若存在，则求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）∵S₂=kS₁+2，∴a₁+a₂=ka₁+2又a₁=2，a₂=1，2+1=2k+2，∴k＝

1

2

…（2分）
∴Sn+1＝

1

2

Sn+2①当n≥2时，Sn＝

1

2

Sn?1+2②①-②，得an+1＝

1

2

an(n≥2)
又a2＝

1

2

a1，由a₁=2≠0可得a_n≠0（n∈N^*），∴

an+1

an

＝

1

2

  (n∈N*)
于是{a_n}是等比数列，其首项为a₁=2，公比为

1

2

，所以Sn＝

2?[1?( 1 2 )n]

1? 1 2

＝4(1?

1

2n

)…（6分）
（II）不等式

Sn?m

Sn+1?m

＜

1

2

，即

4(1? 1 2n )?m

4(1? 1 2n+1 )?m

＜

1

2

．，整理得

2n(4?m)?4

2n(4?m)?2

＜

1

2

，
令t=2ⁿ（4-m），则不等式变为

t?4

t?2

＜

1

2

，解之得2＜t＜6即2＜2ⁿ（4-m）＜6…（8分）
假设存在正整数m，n使得上面的不等式成立，由于2ⁿ为偶数，4-m为整数，
则只能是2ⁿ（4-m）=4∴

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