Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD，若E、F分别为PC

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD，若E、F分别为PC、BD的中点，求证：（1）EF∥侧面PAD；（2）PA⊥平面PDC。

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Answer 1

证明：（1）连结AC， ∵底面ABCD是边长为a的正方形，F为BD的中点， ∴F∈AC，且F也是AC的中点，CD⊥AD， 在△CPA中， ∵E为PC的中点， ∴EF∥PA， ∵ 平面PAD， ∴EF∥侧面PAD；
（2）∵侧面PAD⊥底面ABCD， 侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD， ∴CD⊥侧面PAD， ∵ ， ∴CD⊥PA， 又∵ ， ∴ ， ∴△PAD是等腰直角三角形， 且 ， ∵CD∩PD=D， ∴PA⊥平面PDC。