Question

已知函数f（x）=|x-a|-9x+a，x∈[1，6]，a∈R．（Ⅰ）若a=1，试判断并证明函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a

已知函数f（x）=|x-a|-9x+a，x∈[1，6]，a∈R．（Ⅰ）若a=1，试判断并证明函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．

Answer 1

（1）∵a=1，x∈∈[1，6]，
∴f（x）=|x-1|-

9

x

+1=x-

9

x

，
∴f′（x）=1+

9

x2

＞0，
∴f（x）是增函数；
（2）因为1＜a＜6，所以f（x）=

2a?(x+ 9 x )，1≤x≤a x? 9 x ，a＜x≤6

，
①当1＜a≤3时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数，
所以当x=6时，f（x）取得最大值为

9

2

．
②当3＜a＜6时，f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，
而f（3）=2a-6，f（6）=

9

2

，
当3＜a≤

21

4

 时，2a-6≤

9

2

，当x=6时，f（x）取得最大值为

9

2

．
当

21

4

≤a＜6时，2a-6＞

9

2

，当x=3时，f（x）取得最大值为2a-6．
综上得，M（a）=

9 2 ，1≤a≤ 21 4 2a?6， 21 4 ＜a≤6

．