Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+12∠A；②以E为圆心，BE为半径的圆与以F为圆心，CF为半径的圆外切；③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn；④EF不能成为△ABC的中位线．其中正确的结论是______．（把你认为正确结论的序号都填上，答案格式如：“①，②，③，④”）

Answer 1

解：①中，∠BOC=180°-（

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∠ABC+

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∠ACB）=180°-

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（180°-∠A）=90°+

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∠A．所以①正确；
②中，∠EBO=∠EOB，则EB=EO，同理FO=FC；则以E为圆心，BE为半径的圆经过点O．同理，以F为圆心，CF为半径的圆也经过点O，则这两个圆外切，所以②正确；
③中，连接AO，则AO也是此三角形的角平分线，则点O到AB与到AC的距离相等，则三角形AEF的面积=三角形AOE的面积+三角形AOF的面积，又高相等，则等于

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mn，这与原题不符，所以此项错误；
④连AO，设EF是△ABC的中位线，
∵EF‖BC，∠ABO=∠CBO，
∴OE=BE=

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?AB，
∴∠AOB=90°（三角形一边上的中线等于这边的一半，是直角三角形）
同理∠AOC=90°，
∴O的应该在BC上，
EF与BC重合，
∴E、F不可能是三角形ABC的中点，即EF不可能是△ABC的中位线．
所以此项正确；
正确的结论是①、②、④．