Question

已知⊙O中，弦AB垂直弦CD于E．（1）如图1，若AE=DE，求证：CE=BE；（2）如图2，若∠AOD=140°，求∠BOC的

已知⊙O中，弦AB垂直弦CD于E．（1）如图1，若AE=DE，求证：CE=BE；（2）如图2，若∠AOD=140°，求∠BOC的度数；（3）如图3，若点M为AC的中点，求证：ME⊥BD（4）如图4，若ON⊥BD于N，求证：ON=12AC．

Answer 1

证明：（1）连接AD、BC，如图1，
∵AE=DE，
∴∠A=∠D，
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠C=∠B，
∴CE=CB；
（2）连接BC，如图2，
∵AB⊥CD，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠AOC=2∠ABC，∠BOD=2∠BCD，
∴∠AOC+∠BOD=2（∠ABC+∠BCD）=2×90°=180°，
∴∠AOD+∠BOC=360°-180°=180°，
∴∠BOC=180°-140°=40°；
（3）延长ME交BD于H，如图3，
∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∵M点AC的中点，
∴AM=ME=MC，
∴∠A=∠MEA，
而∠MEA=∠BEH，
∴∠A=∠BEH，
∵∠C=∠B，∠A+∠C=90°，
∴∠BEH+∠B=90°，
∴EH⊥BD，
即ME⊥BD；
（4）作OP⊥AC于P，连接OA、OC、OB、OD，如图4，
∵OP⊥AC，ON⊥BD，
∴∠AOP=

1

2

∠AOC，AP=CP，∠DON=

1

2

∠BOD，
由（2）得∠AOC+∠BOD=180°，
∴∠AOP+∠DON=

1

2

（∠AOC+∠BOD）=90°，
而∠AOP+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠DON，
在△OAP和△DON中，

∠OPA＝∠DNO ∠OAP＝∠DON OA＝DO

，
∴△OAP≌△DON（AAS），
∴AP=ON，
∴AP=PC=ON，
∴ON=

1

2

AC．