如图(1)四边形ABCD中,已知∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,DA⊥AB,点E在CD的延长线上,∠BAC=∠DAE.(1)
如图(1)四边形ABCD中,已知∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,DA⊥AB,点E在CD的延长线上,∠BAC=∠DAE.(1)求证:△ABC≌△ADE;(2)求证...
如图(1)四边形ABCD中,已知∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,DA⊥AB,点E在CD的延长线上,∠BAC=∠DAE.(1)求证:△ABC≌△ADE;(2)求证:CA平分∠BCD;(3)如图(2),设AF是△ABC的BC边上的高,求证:EC=2AF.
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(1)证明:如图①,∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADE+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADE,
在△ABC与△ADE中,
,
∴△ABC≌△ADE(ASA).
(2)证明:如图①,∵△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BCA=∠E,
∴∠ACD=∠E,
∴∠BCA=∠E=∠ACD,即CA平分∠BCD;
(3)证明:如图②,过点A作AM⊥CE,垂足为M,
∵AM⊥CD,AF⊥CF,∠BCA=∠ACD,
∴AF=AM,
又∵∠BAC=∠DAE,
∴∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC=∠BAD=90°,
∵AC=AE,∠CAE=90°,
∴∠ACE=∠AEC=45°,
∵AM⊥CE,
∴∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°,
∴CM=AM=ME,
又∵AF=AM,
∴EC=2AF.
∴∠ABC=∠ADE,
在△ABC与△ADE中,
|
∴△ABC≌△ADE(ASA).
(2)证明:如图①,∵△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BCA=∠E,
∴∠ACD=∠E,
∴∠BCA=∠E=∠ACD,即CA平分∠BCD;
(3)证明:如图②,过点A作AM⊥CE,垂足为M,
∵AM⊥CD,AF⊥CF,∠BCA=∠ACD,
∴AF=AM,
又∵∠BAC=∠DAE,
∴∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC=∠BAD=90°,
∵AC=AE,∠CAE=90°,
∴∠ACE=∠AEC=45°,
∵AM⊥CE,
∴∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°,
∴CM=AM=ME,
又∵AF=AM,
∴EC=2AF.
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