Question

在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C

在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．

Answer 1

设M（ρ，θ），θ∈（0，

π

2

），则OP=2cosθ，PB=2sinθ；
∴ρ=OP+PM=OP+PB=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ；
化为普通方程是x²+y²=2x+2y，
∴M的轨迹方程是（x-1）²+（y-1）²=2（x＞0，y＞0）；
∴点M的轨迹长度是l=

1

2

×2π×

2

=

2

．

Answer 2

设M（ρ，θ），θ∈（0， π2），则OP=2cosθ，PB=2sinθ；
∴ρ=OP+PM=OP+PB=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ；
化为普通方程是x²+y²=2x+2y，
∴M的轨迹方程是（x-1）²+（y-1）²=2（x＞0，y＞0）；
∴点M的轨迹长度是l= 12×2π× 2= 2π