Question

已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s

已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=

BC2+AC2

＝5，
由题意知：AP=5-t，AQ=2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，∴

2t

4

=

5?t

5

，
∴t=

10

7

．所以当t=

10

7

时，PQ∥BC．

（2）过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH∽△ABC，
∴

PH

BC

=

AP

AB

，
∴

PH

3

=

5?t

5

，
∴PH=3-

3

5

t，
∴y=

1

2

×AQ×PH=

1

2

×2t×（3-

3

5

t）=-

3

5

t²+3t．

（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），解得t=1．
若PQ把△ABC面积平分，则S_△APQ=

1

2

S_△ABC，即-

3

5

t2+3t=3．
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．

（4）过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
若四边形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴

PN

AC

=

BP

AB

，∴

PN

4

=

t

5

，
∴PN=

4t

5

，
∴QM=CM=

4t

5

，
∴

4

5

t+

4

5

t+2t=4，解得：t=

10

9

．
∴当t=

10

9

s时，四边形PQP'C是菱形．
此时PM=3-

3

5

t=

7

3

cm，CM=

4

5

t=

8

9

cm，
在Rt△PMC中，PC=

PM2+CM2

=

49 9 + 64 81

=

505

9

cm，
∴菱形PQP′C边长为

505

9

cm．