Question

（2012?河南二模）在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三

（2012?河南二模）在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥B-AEF，如图所示．（Ⅰ）在三棱锥B-AEF中，求证：AB⊥EF；（Ⅱ）求四棱锥E-AMNF的体积．

Answer 1

解答：（I）证明：在三棱锥B-AEF中，
因为AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，
所以AB⊥平面BEF．…..（3分）
又EF?平面BEF，
所以AB⊥EF．…..（6分）
（II）解：因为在△ABF中，M、N分别为AB、BF的中点，
所以四边形AMNF的面积是△ABF面积的

3

4

．…..（8分）
又三棱锥E-ABF与四棱锥E-AMNF的高相等，
所以，四棱锥E-AMNF的体积是三棱锥E-ABF的体积的

3

4

，
因为V_E-ABF=V_A-BEF，
所以VE?AMNF＝

3

4

VA?BEF．…..（10分）
因为VA?BEF＝

1

3

S△BEF?AB＝

1

3

×

1

2

BE?BF?AB＝

1

24

a3，
所以VE?AMNF＝

3

4

×

1

24

a3＝

1

32

a3，
故四棱锥E-AMNF的体积为

1

32

a3．…..（13分）