Question

已知函数f（x）=x2lnx．（1）求函数f（x）的单调区间； （2）若关于x的方程f（x）=kx-1有实数解，求实数k

已知函数f（x）=x2lnx．（1）求函数f（x）的单调区间； （2）若关于x的方程f（x）=kx-1有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可知函数的定义域为：（0，+∞）
f′（x）=x（2lnx+1），
令f′（x）＞0，得2lnx+1＞0，即x＞

e

e

令f′（x）＜0，得2lnx+1＜0，即0＜x＜

e

e

，
所以函数f（x）解：的递减区间是（0，

e

e

）．函数的单调增区间为（

e

e

，+∞）．
（2）由题意可得，关于x的方程f（x）=kx-1有实数解，
∴f（x）-kx+1=0，
即x²lnx-kx+1=0．
∴k=xlnx+

1

x

设g（x）=xlnx+

1

x

，
则g′（x）=lnx+

x2?1

x2

，
∴g′（1）=0，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以当x=1时，g（x）_min=g（1）=1，
所以k≥1，
故k的取值范围是[1，+∞）