Question

已知等比数列{an}的首项a1=13，前n项和为Sn，满足s1、2s2、3s3成等差数列；（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ

已知等比数列{an}的首项a1=13，前n项和为Sn，满足s1、2s2、3s3成等差数列；（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=2-（11+an+11?an+1）），数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn＜13．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：∵S₁、2S₂、3S₃成等差数列，
∴4S₂=S₁+3S₃，
当q=1时，不符合，
当q≠1时，得4?

a1(1?q2)

1?q

=a1+3?

a1(1?q3)

1?q

，
由a₁=

1

3

，解得q=

1

3

或q=0（舍），
∴a_n=（

1

3

）ⁿ．
（Ⅱ）证明：b_n=2-（

1

1+an

+

1

1?an+1

）=2-（

1

1+( 1 3 )n

+

1

1?( 1 3 )n+1

）
=2-

1

1+( 1 3 )n

-

1

1?( 1 3 )n+1

=1-

1

1+( 1 3 )n

+1-

1

1?( 1 3 )n+1

=（1-

3n

3n+1

）+（1-

3n+1

3n+1?1

）
=

1

3n+1

?

1

3n+1?1

，
由

1

3n+1

＜

1

3n

，

1

3n+1?1

＞

1

3n+1

，得

1

3n+1?1

＜

1

3n

?

1

3n+1

，
∴bn＜

1

3n

?

1

3n+1

，
从而T_n＜（

1

3

?

1

32

）+（

1

32

?

1

33

）+…+（

1

3n

?

1

3n+1

）=

1

3

?

1

3n+1

＜

1

3

，
∴T_n＜

1

3

．