设f(x)=(x+a)lnxx+1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0垂直.(1)求a的值;(2)
设f(x)=(x+a)lnxx+1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0垂直.(1)求a的值;(2)若?x∈[1,+∞),f(x)≤m(x-...
设f(x)=(x+a)lnxx+1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0垂直.(1)求a的值;(2)若?x∈[1,+∞),f(x)≤m(x-1)恒成立,求m的范围.(3)求证:ln42n+1<ni=1i4i2?1.(n∈N*).
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(1)f′(x)=
-----------------------(2分)
由题设f′(1)=
,
∴
=
∴1+a=1,∴a=0.-------------------------------(4分)
(2)f(x)=
,?x∈(1,+∞),f(x)≤m(x-1),即lnx≤m(x?
)
设g(x)=lnx?m(x?
),即?x∈(1,+∞),g(x)≤0.
g′(x)=
?m(1+
)=
-------------------------------------(6分)
①若m≤0,g'(x)>0,g(x)≥g(1)=0,这与题设g(x)≤0矛盾.-----------------(8分)
②若m>0方程-mx2+x-m=0的判别式△=1-4m2
当△≤0,即m≥
时,g'(x)≤0.
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴g(x)≤g(1)=0,即不等式成立.-------------------------------------------(9分)
当0<m<
时,方程-mx2+x-m=0,其根x1=
>0,x1=
>1,
当x∈(1,x2),g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)>g(1)=0,与题设矛盾.
综上所述,m≥
.------------------------------------------------------------------------(10分)
(3)由(2)知,当x>1时,m=
时,lnx<
(x?
)成立.
不妨令x=
,k∈N*
所以ln
<
(
?
)=
,
[ln(2k+1)?ln(2k?1)]<
,k∈N*----------------------(11分)
---------------------(12分)
累加可得
ln(2n+1)<
.(n∈N*).即ln
<
.(n∈N*).------------------------(14分)
(
| ||
(x+1)2 |
由题设f′(1)=
1 |
2 |
∴
(1+a)2 |
4 |
1 |
2 |
∴1+a=1,∴a=0.-------------------------------(4分)
(2)f(x)=
xlnx |
x+1 |
1 |
x |
设g(x)=lnx?m(x?
1 |
x |
g′(x)=
1 |
x |
1 |
x2 |
?mx2+x?m |
x2 |
①若m≤0,g'(x)>0,g(x)≥g(1)=0,这与题设g(x)≤0矛盾.-----------------(8分)
②若m>0方程-mx2+x-m=0的判别式△=1-4m2
当△≤0,即m≥
1 |
2 |
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴g(x)≤g(1)=0,即不等式成立.-------------------------------------------(9分)
当0<m<
1 |
2 |
1?
| ||
2m |
1+
| ||
2m |
当x∈(1,x2),g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)>g(1)=0,与题设矛盾.
综上所述,m≥
1 |
2 |
(3)由(2)知,当x>1时,m=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
x |
不妨令x=
2k+1 |
2k?1 |
所以ln
2k+1 |
2k?1 |
1 |
2 |
2k+1 |
2k?1 |
2k?1 |
2k+1 |
4k |
4k2?1 |
1 |
4 |
k |
4k2?1 |
|
累加可得
1 |
4 |
n |
i=1 |
i |
4i2?1 |
4 | 2n+1 |
n |
i=1 |
i |
4i2?1 |
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