Question

已知数列{an}前n项和为Sn,且满足 a1=1,an+1=Sn+1.(1)求{an}通项公 式.(2)若bn=n/4an,求bn的前n项和Tn,(3)

是否存在最小正整数m，使不等式∑（k+2）/Sk*(Tk+k+1)＜m对任意正整数恒成立

Answer 1

你的题目是否为a(n+1)= Sn + 1，如果是，那么解答如下：
（1）a(n+1)= Sn + 1 ，an= S(n-1) + 1,两式相减，得到a(n+1) -an=an，所以an=2^(n-1)
（2）Tn=Σ{n/4an}=Σ{n/2^(n+1)}=1/4 +2/8+3/16+...+n/2^(n+1) ,1/2Tn=1/8+2/16+...+(n-1)/2^(n+1) +n/2^(n+2)
两式相减，得到1/2Tn=1/4+1/8+1/16+...+1/2^(n+1)-n/2^(n+2)，所以Tn=1-（n+2)/2^(n+1)
（3）(k+2)/Sk*(Tk +k+1)=2{1/(2^k -1) -1/[2^(k+1) -1]}，
所以Σ{(k+2)/Sk*(Tk +k+1)}=2{(1/1 -1/3)+(1/3-7)+...+[1/(2^k -1) -1/[2^(k+1) -1]]}，
Σ{(k+2)/Sk*(Tk +k+1)}=2{1-1/[2^(k+1) -1]}，当k=1时候，Σ{(k+2)/Sk*(Tk +k+1)}有最小值，当k趋于无穷时，有最大极限值Σ{(k+2)/Sk*(Tk +k+1)}=2，所以令m=2，使得不等式Σ{(k+2)/Sk*(Tk +k+1)}＜m恒成立。