Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为点O，交AC于点F，交AD于点G。（1）证明：BE=AG

如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为点O，交AC于点F，交AD于点G。（1）证明：BE=AG （2）当点E是AB边中点时，试比较∠AEF和∠CEB的大小，并说明理由。

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABC=90°， ∴∠1+∠3=90° ∵BG⊥CE ∠BOC=90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠1=∠2 在⊿GAB和⊿EBC中， ∵∠GAB=∠EBC=90°，AB=BC，∠1=∠2 ∴⊿GAB≌⊿EBC（ASA） ∴AG=BE （2）当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB。 理由如下：当点E位于线段AB中点时，AE=BE 由（1）知，AG=BE ∴AG=AE ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠GAF=∠EAF=45° 又∵AF=AF ∴⊿GAF≌⊿EAF（SAS） ∴∠AGF=∠AEF 由（1）知，⊿GAB≌⊿EBC ∴∠AGF=∠CEB ∴∠AEF=∠CEB