Question

如图，一次函数y= - 1 2 x+2 分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x 2 +bx+c过A、B两点．（1）

如图，一次函数y= - 1 2 x+2 分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x 2 +bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

Answer 1

（1）∵一次函数y= - 1 2 x+2 分别交y轴、x轴于A、B两点， ∴x=0时，y=2，y=0时，x=4， ∴A（0，2），B（4，0）， 将x=0，y=2代入y=-x 2 +bx+c得c=2， 将x=4，y=0，c=2代入y=-x 2 +bx+c， 得到b= 7 2 ， ∴y=-x 2 + 7 2 x+2； （2）∵作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M， ∴由题意，易得M（t，- 1 2 t+2），N（t，-t 2 + 7 2 t+2）， 从而得到MN=-t 2 + 7 2 t+2-（- 1 2 t+2）=-t 2 +4t（0＜t＜4）， 当t=- b 2a =2时，MN有最大值为： 4ac- b 2 4a =4．