Question

如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°. （1）求证：PB是⊙O

如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°. （1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长.

Answer 1

（1）见解析   （2）PA=PB=AB=2 .

（1）证明：连接OB.∵OA=OB,∴∠OBA=∠BAC=30°. ∴∠AOB=180°－30°－30°=120°. ∵PA切⊙O于点A,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°. ∵四边形的内角和为360°， ∴∠OBP=360°－90°－60°－120°=90°. ∴OB⊥PB. 又∵点B是⊙O上的一点， ∴PB是⊙O的切线. （2）解：连接OP.∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∠OPA= ∠OPB= ∠APB=30°. 在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，∴OP=2OA=2×2=4， ∴PA=  = =2 . ∵PA=PB,∠APB=60°,∴PA=PB=AB=2 .