Question

如图，在O≤x≤ a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在t=0时刻，一位于坐标原点

如图，在O≤x≤ a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0~ 180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t 0 时刻刚好从磁场边界上P（ a，a）点离开磁场。求： （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m； （2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围； （3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。

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Answer 1

解：（1）初速度与y轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如下图中的弧OP所示，其圆心为C

由题给条件可以得出   ① 此粒子飞出磁场所用时间为   ② 式中T为粒子做圆周运动的周期。设粒子运动速度的大小为v，半径为R，由几何关系可得   ③ 由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有   ④   ⑤ 联立②③④⑤式，得 （2）依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同。在t 0 时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧MN上，如图所示

设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为v p 、v M 、v N ，由对称性可知v p 与OP、v M 与OM、v N 与ON的夹角均为π/3。设v M 、v M 与y轴正向的夹角分别为θ M 、θ N ，由几何关系有 对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y轴正方向所成的夹角θ应满足 （3）在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如上图所示。由几何关系可知，弧OM=弧OP 由对称性可知，弧ME=弧OP 从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间t m =2t 0