已知抛物线C:x2=2py(p为正常数)的焦点为F,过F做一直线l交C于P,Q两点,点O为坐标原点.(1)若△POQ
已知抛物线C:x2=2py(p为正常数)的焦点为F,过F做一直线l交C于P,Q两点,点O为坐标原点.(1)若△POQ的面积记为S,求S2|PQ|的值;(2)若直线l垂直于...
已知抛物线C:x2=2py(p为正常数)的焦点为F,过F做一直线l交C于P,Q两点,点O为坐标原点.(1)若△POQ的面积记为S,求S2|PQ|的值;(2)若直线l垂直于y轴,过点Q做关于直线l的对称的两条直线l1,l2分别交抛物线C于M,N两点,证明:直线MN斜率等于抛物线在点Q处的切线斜率.
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真英往931
2014-10-11
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解(1)显然直线l斜率存在,
F(0,)设
l:y=kx+代入C:x
2=2py得x
2-2pkx-p
2=0,x
1+x
2=2pk,x
1x
2=-p
2,(2分)
求得弦长|PQ|=2p(1+k
2),原点到直线l距离
,(2分)
S2=?()2|PQ|2,所以
=(2分)
(2)不妨设
P(?p,),
Q(p,),
设
l1:y=k1(x+p)+代入C:x
2=2py
得x
2-2pk
1x-2p
2k
1-p
2=0,x
Px
M=-2k
1p
2-p
2,
所以x
M=2k
1p+p,同理x
N=2k
2p+p,(2分)k
1+k
2=0,
kMN===1,(2分)
抛物线在点Q处的切线斜率
y′=|x=p=1=kMN,得证(2分)
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