Question

已知抛物线C：x2=2py（p为正常数）的焦点为F，过F做一直线l交C于P，Q两点，点O为坐标原点．（1）若△POQ

已知抛物线C：x2=2py（p为正常数）的焦点为F，过F做一直线l交C于P，Q两点，点O为坐标原点．（1）若△POQ的面积记为S，求S2|PQ|的值；（2）若直线l垂直于y轴，过点Q做关于直线l的对称的两条直线l1，l2分别交抛物线C于M，N两点，证明：直线MN斜率等于抛物线在点Q处的切线斜率．

Answer 1

解（1）显然直线l斜率存在，F(0，

p

2

)
设l：y＝kx+

p

2

代入C：x²=2py得x²-2pkx-p²=0，x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，（2分）
求得弦长|PQ|=2p（1+k²），原点到直线l距离

p

2 1+k2

，（2分）
S2＝

1

4

?(

p

2 1+k2

)2|PQ|2，所以

S2

|PQ|

＝

p3

8

（2分）
（2）不妨设P(?p，

p

2

)，Q(p，

p

2

)，
设l1：y＝k1(x+p)+

p

2

代入C：x²=2py
得x²-2pk₁x-2p²k₁-p²=0，x_Px_M=-2k₁p²-p²，
所以x_M=2k₁p+p，同理x_N=2k₂p+p，（2分）k₁+k₂=0，
kMN＝

yM?yN

xM?xN

＝

xM+xN

2p

＝1，（2分）
抛物线在点Q处的切线斜率y′＝

2x

2p

|x＝p＝1＝kMN，得证（2分）