Question

函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=bx2

函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=bx2-1，若关于x的方程f（x）=g（x）的解集中含有3个元素，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）∵f'（x）=4x³-12x²+2ax=2x（2x²-6x+a），
又 f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减．
∴在[0，1]上恒有f'（x）≥0，在[1，2]上恒有f'（x）≤0，
令g（x）=2x²-6x+a，
即在[0，1]上恒有g（x）≥0，在[1，2]上恒有g（x）≤0，
即

g(1)＝a?4＝0 g(2)＝a?4≤0

，∴a=4．
（2）由f（x）=g（x）的解集中含有3个元素，得x²（x²-4x+4-b）=0有3个不相等的实根．
故x²-4x+4-b=0有两个不相等的非零实根，∴△=16-4（4-b）＞0，且4-b≠0．
解得：0＜b＜4，或b＞4，
∴b∈（0，4）∪（4，+∞）．