已知函数f(x)=(log2x-2)(log4x-12)(1)当x∈[2,4]时,求该函数的值域;(2)若f(x)>mlog2x对

已知函数f(x)=(log2x-2)(log4x-12)(1)当x∈[2,4]时,求该函数的值域;(2)若f(x)>mlog2x对于x∈[4,16]恒成立,求m的取值范围... 已知函数f(x)=(log2x-2)(log4x-12)(1)当x∈[2,4]时,求该函数的值域;(2)若f(x)>mlog2x对于x∈[4,16]恒成立,求m的取值范围. 展开
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小傲ja协
2014-12-29 · TA获得超过107个赞
知道答主
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(1)f(x)=(log2x-2)(log4x-
1
2

=
1
2
(log2x)2-
3
2
log2x+1,2≤x≤4
令t=log2x,则y=
1
2
t2-
3
2
t+1=
1
2
(t-
3
2
)2-
1
8

∵2≤x≤4,
∴1≤t≤2.
当t=
3
2
时,ymin=-
1
8
,当t=1,或t=2时,ymax=0.
∴函数的值域是[-
1
8
,0].
(2)令t=log2x,得
1
2
t2-
3
2
t+1>mt对于2≤t≤4恒成立.
∴m<
1
2
t+
1
t
-
3
2
对于t∈[2,4]恒成立,
设g(t)=
1
2
t+
1
t
-
3
2
,t∈[2,4],
∴g(t)=
1
2
t+
1
t
-
3
2
=
1
2
(t+
2
t
)-
3
2

∵g(t)=
1
2
t+
1
t
-
3
2
在[2,4]上为增函数,
∴当t=2时,g(t)min=g(2)=0,
∴m<0.
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