Question

设P为双曲线C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线在第一象限内的部分上一动点，F为双曲线C的右焦点，A为

设P为双曲线C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线在第一象限内的部分上一动点，F为双曲线C的右焦点，A为双曲线C的右准线与x轴的焦点，若∠APF的最大值为π3，则双曲线的离心率为______．

Answer 1

解答：解：由题意得：A（

a2

c

，0），F（c，0），P（at，bt）
由直线的斜率公式，得
K_PF=

bt

at?c

，K_PA=

bt

at? a 2 c

根据到角公式，得
tan∠APF=

bt at?c ? bt at? a 2 c

1+ bt at?c  ? bt at? a 2 c

化简，得tan∠APF=

b 3

c3t+ a2c t ?(a3+ac 2)

≤

b 3

2 c3t? a2c t ?(a3+ac 2)

=

b 3

2ac 2? (a3+ac 2)

=

b

a

此时 cos∠APF＝

1

1+(tan∠APF) 2

=

1

e

则∠APF的最大值为 arccos

1

e

，
若∠APF的最大值为

π

3

，
则cos

π

3

=

1

e

?e=2
双曲线的离心率为2
故答案为：2．