Question

数学课堂上，陈老师出示一道试题：如图1所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是

数学课堂上，陈老师出示一道试题：如图1所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN=60°，求证：AM=MN．（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM．∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，∴∠1=∠2．又CN平分∠ACP，∠4=12∠ACP=60°，∴∠MCN=∠3+∠4=120°．①又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM．∴△BEM为等边三角形．∴∠6=60°．∴∠5=180°-∠6=120°．②∴由①②得∠MCN=∠5．在△AEM和△MCN中，______，______，______，∴△AEM≌△MCN（ASA）．∴AM=MN．（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”（正方形四条边都相等、四个角都是直角）（如图2），N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立？（写出答案，并仿照（1）证明）

Answer 1

解答：（1）证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM．
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．
又∵CN平分∠ACP，∠4=

1

2

∠ACP=60°，
∴∠MCN=∠3+∠4=120°．①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM．
∴△BEM为等边三角形．
∴∠6=60°．
∴∠5=180°-∠6=120°．②
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，

∠1＝∠2 AE＝CM ∠MCN＝∠5

，
∴△AEM≌△MCN（ASA）．
∴AM=MN．
故答案为：∠1=∠2；AE=CM；∠MCN=∠5；
（2）解：结论A₁M₁=M₁N₁仍然成立，理由为：
在A₁B₁上截取A₁E=C₁M₁，连接EM₁，
∵四边形A₁B₁C₁D₁为正方形，
∴A₁B₁=B₁C₁，∠B₁=90°，
∴EB₁=M₁B₁，即△EB₁M₁为等腰直角三角形，
∴∠B₁EM₁=45°，
∵C₁N₁为∠D₁C₁P₁的平分线，
∴∠A₁EM₁=∠N₁C₁P₁=135°，
∵∠B₁A₁M₁+∠A₁M₁B₁=90°，∠A₁M₁B₁+∠N₁M₁C₁=90°，
∴∠B₁A₁M₁=∠N₁M₁C₁，
在△A₁EM₁和△M₁N₁C₁中，

∠EA1M1＝∠C1M1N1 A1E＝M1C1 ∠A1EM1＝∠M1C1N1

，
∴△A₁EM₁≌△M₁N₁C₁（ASA），
∴A₁M₁=M₁N₁．