Question

因式分解

a³(b+c-a)²+ b³(c+a-b)²+ c³(a+b-c)²+abc(a²+b²+c²)+(a²+b²+c²-ab-bc-ca) (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
求详细过程。谢谢！

Answer 1

a³(b+c-a)²+b³(c+a-b)²+c³(a+b-c)²+abc(a²+b²+c²)+(a²+b²+c²-ab-bc-ca)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
=(a³+b³+c³)(a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc)+5abc(a²+b²+c²)+(a²+b²+c²-ab-ac-bc)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
=(a²+b²+c²)(a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+3abc)-(ab+ac+bc)(a³+b³+c³+a²b+ab²+a²c+ac²+b²c +bc²-2abc)
=(a³+b³+c³)(a+b+c)(ab+ac+bc)-(ab+ac+bc)[(a²+b²+c²)(a+b+c)-2abc]
=2abc(ab+ac+bc)
解法2
当a=0时,原式=(b^3+c^3)(b-c)^2+(b^2+c^2-bc)(b+c)(c-b)(b-c)
=(b+c)(b^2+c^2-bc)(b-c)^2-(b+c)(b^2+c^2-bc)(b-c)^2=0
所以a是原式的因子，根据对称性知b,c也是原式的因子,原式是关于a,b,c轮换对称的5次齐次式
所以可设原式=abc[m(a^2+b^2+c^2)+n(ab+ac+bc)]①
当a=b=c=1时①式为 6=3m+3n ,m+n=2②
当a=b=1,c=-1时①式为 3m-n=-2③
②,③联立解得m=0,n=2
所以原式=2abc(ab+ac+bc)