Question

题目1：已知函数f(x)=2sin(2x-π/3)-3,①若f(θ)=-4,θ∈[0,2π]，求θ的值。

②若不等式|f(x)-m|<2在x∈[π/3,3π/4]上恒成立，求实数m的取值范围。③函数y=f(x)的图像是由y=sinx如何变换得来的？
题目2：已知函数f(x)=cos²x+asinx+1(a为常数).若关于x的方程f(x)=(a+1)sinx+a在区间[0,2π)内有2解，求实数a的取值范围。

Answer 1

题目1:(1)f(θ)=-4,2sin(2θ-π/3)-3=-4,sin(2θ-π/3)=-1/2
θ∈[0,2π],2θ-π/3∈[-π/3,11π/3]
得2θ-π/3=-π/6,7π/6,2π-π/6,2π+7π/6
所以θ=π/12,3π/4,13π/12,7π/4
(2)|f(x)-m|<2 在x∈[π/3,3π/4]上恒成立

-2+f(x)<m<2+f(x)在x∈[π/3,3π/4]上恒成立
x∈[π/3,3π/4]时f(x)的值域是[-4,-1]
所以 -2+(-1)<m<2+(-4) 即-3<m<-2
(3)y=sinx的图像上每点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得y=2sinx；
y=2sinx的图像向下平移3个单位得y=2sinx-3；
y=2sinx-3的图像上每点的纵坐标不变,横坐标变为原来的1/2倍得y=2sin2x-3；
y=2sinx-3的图像向右平移π/6个单位得y=2sin(2θ-π/3)-3
题目2:cos²x+asinx+1=(a+1)sinx+a在区间[0,2π)内有2解
a=cos²x-sinx+1在区间[0,2π)内有2解
a=-(sinx+1/2)^2+9/4在区间[0,2π)内有2解
而在区间[0,2π)内-(sinx+1/2)^2+9/4的值域是[0,9/4]
设g(x)=-(sinx+1/2)^2+9/4
x∈[0,π/2],g(x)在其上单减,值域是[0,2];
x∈[π/2,7π/6],g(x)在其上单增,值域是[0,9/4];
x∈[7π/6,3π/2],g(x)在其上单减,值域是[0,2];
x∈[3π/2,11π/6],g(x)在其上单增,值域是[2,9/4];
x∈[11π/6,2π],g(x)在其上单减,值域是[2,9/4];
作出单调示意图满足a=-(sinx+1/2)^2+9/4在区间[0,2π)内有2解
的a是0<a<2或a=9/4.
所以a的取值范围是0<a<2或a=9/4.

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