Question

如何理解二元函数的拉格朗日中值定理？

Answer 1

叙述的时候我会假定大家对此定理一无所知

所以我一开始会避免谈及拉格朗日中值定理

然而最后我会把拉格朗日中值定理拓展到一般性中值定理

这里先给出一个小问题引起一点兴趣：

证明方程3ax^2-2ax+2bx-b=0在(0,1)至少存在一个解（a,b不同时为0)
这个小问题是高二时我在考试时接触到的一道压轴题

我记得它的标准答案是稍微繁琐且不带任何技巧性的

当时我给出了一种证明方法：

令f(x)=ax^3+(b-a)x^2-bx

由三次函数的连续性可知f(x)在(0,1)之间存在着递增与递减

注意到f(0)=f(1)

显然f(x)不可能在（0,1）单调递增或单调递减

所以f(x)在（0,1）至少存在一个极值点

即原方程在（0,1）至少存在一个解

上面的证明方法涉及一个定理：

Rolle定理

若函数f(x)在[a,b],(a,b)可导，且f(a)=f(b)

那么至少存在一点ξ，使得

f'(ξ)=0（a<ξ<b)

很显然，出题那货接触过此定理且由此定理想出这么一道题目
Rolle定理从极值点的观点,可以表述为：

若函数f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导，且f(a)=f(b)

那么

f(x)在（a,b)至少存在一个极值点

通过前面的内容，这道小问题是很轻易解决的：

若a0+a1/2+···an/(n+1)=0

证明多项式实方程a0+a1x+a2x^2+···anx^n=0在（0，1)上至少有一解

然而如果把眼光就此放在这类小问题上未免太短浅了

假设有特殊情况下使坐标系不够稳定而发生偏转

在这一偏转下，f(x)变换成g(x)（若仍然满足函数映射定义）

那么极值点便不再存在
这时候，有一个有趣的问题足够引起注意：

原来的极值点经过偏转后会产生怎样的变化？
为了使问题变得简洁,有这样一种做法：

在f(x)上连接ab两点，那么f(x)构成一个奇妙的图形f

由f(x)的极值点ξ可知：

直线ab沿着y轴平移的过程中会与ξ点相切

在坐标系偏转的过程中,显然直线ab与f图形本身不会变化

直线ab仍然会与ξ点相切

因此

g'(ξ)=g(b)-g(a)/(b-a)

这个问题看起来非常接近我们要避免谈及的内容
然而下面的这个小问题使我放弃将原来的讨论继续下去：

证明：

ln(n+1)<1+1/2+1/3+···+1/n<1+lnn （n≥2）
这道小问题也是高二时的一道压轴题

标准做法是构造函数求导，没有可述性

这里给出一种涉及牛顿-莱布尼兹公式的巧妙做法：

设1/x在（n,n+1)的部分为曲边梯形a,（n-1,n)的部分为曲边梯形b

以1/n为高，宽度为1的矩形为c

1/x在（1，n)单调递减

因此Sa<Sc<Sb

所以ln(n+1)<1+1/2+1/3+···+1/n<1+lnn
现在有一道推广性的小问题值得深入下去：
已知f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导
若f(x)>0且f'(x)>0
证明f'(a)<[f(b)-f(a)]/(b-a)<f'(b)（a<b）
这个问题还有另外一种表达形式：

证明存在一点ξ，使得

f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)（a<ξ<b）
这个小问题的两种表达形式的一种做法：

f(b)-f(a)=∫(b,a)f'(x)dx

不妨设以f(a)为高的矩形为A,以f(b)为高的矩形为B

以f(x)在(b,a)的部分为曲边的曲边梯形为C，三者宽度均为b-a

显然f'(a)<[f(b)-f(a)]/(b-a)<f'(b)且f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)（a<ξ<b）

另外一种非常有技巧性的做法类似4L所谈及的,涉及Rolle定理，但这里不会继续下去

因为下面所谈及的内容比理解这种做法更有意思
这个问题是：

曲边梯形经过怎样的变换可以成为一个矩形？
若该曲边梯形是f'(x)在(a,b)的部分

注意到以下不等式：

(b-a）f'(x)min≤∫(b,a)f'(x)dx≤（b-a）f'(x)max

(b-a）f'(x)表示矩形面积

设f'(c)=f'(x)min,f'(d)=f'(x)max

因此在(f'(c)，f'(d))可以选取一点f'(ξ)(ξ介于cd之间)

使得

f'(ξ)(b-a)=∫(b,a)f'(x)dx

(c,d）或(d,c)∈(a,b),因此(a<ξ<b)

即

f'(ξ)（b-a)=f(b)-f(a) (a<ξ<b)
现开始谈及一开始不涉及的内容：

拉格朗日中值定理

若函数f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导

那么至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得

f'(ξ)（b-a）=f(b)-f(a)

或f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

有一些同学可以会为定理中的‘(a,b)可导’而不是‘[a,b]可导’感到困惑

持保守观点的可能会认为[a,b]连续不意味着[a，b]可导

譬如√x在[0,1]连续但在0处不可导

然而通过25L的内容可理解成：

一个矩形去掉边长后面积不变
这里将拉格朗日中值定理做一个轻率的变式：

设h[g(x)]=f(x)，那么g'(x)h'[g(x)]=f'(x)

[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]={h[g(b)]-h[g(a)]}/[g(b)-g(a)]=h'[g(ξ)]=f'(ξ)/g'（ξ）

这个变式称为一般中值定理或者Cauchy中值定理
一般性中值定理：

若f(x)与g(x)在[a,b]连续,(a,b)可导,且g'(x)≠0

那么至少存在一点ξ

使得

[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ) (a<ξ<b)

当g(x)=x时，该定理便是拉格朗日中值定理

Answer 2

跟一元函数类似，只不过推广到二维了。变量多了，公式稍微复杂一些而已。

Answer 3

写成带拉格朗日余项的泰勒展开公式会好一些。
是用微分逼近函数值的方法。