Question

求函数y=2x^2/x-3的值域

Answer 1

解令2x^2/(x-3)=t
则2x^2=tx-3t(x≠3)
即2x^2-tx+3t=0(x≠3)
当x=3时得2×3^2-3t+3t=0，知t不存在
当x≠3时，由方程2x^2-tx+3t=0(x≠3)有解
则Δ≥0
即(-t)^2-4×2×3t≥0
即t^2-24t≥0
解得t≥24或t≤0
故综上知t的范围是t≥24或t≤0
故原函数的值域为{y/y≥24或y≤0}。

Answer 2

方法一
去分母并整理得2x²-yx+3y=0
∵x∈R,且x≠3
∴△=y²-4×2×3y≥0
解得y≤0或≥24,即(-∞,1]∪[24,+∞)
方法二
y=2x²/（x-3）=(2x²-6x+6x-18+18)/(x-3)=[2x(x-3)+6(x-3)+18]/(x-3)=2x+6+18/(x-3)
=2(x-3）+18/(x-3)+12
当x＞3时,上式≥2√36+12＝24
当x＜3时,上式=-[2(3-x）+18/(3-x)]+12≤-2√36+12＝0
即函数y=2x²/（x-3）的值域为(-∞,1]∪[24,+∞)