Question

已知函数z=f(x,y)由方程x^2+y^2+z^2-4z=0所确定,则grad(z)=0的点为（

已知函数z=f(x,y)由方程x^2+y^2+z^2-4z=0所确定,则grad(z)=0的点为（）

Answer 1

已知函数z=f(x,y)由方程x^2+y^2+z^2-4z=0所确定,则grad(z)=0的点为（
要求dz,只要求出z对x和y的两个偏导数即可.方程两边对x求导,得2x+0+2zz'(x)-4yz-4xyz'(x)=0,故z'(x)=(2yz-x)/(z-2xy)；同理可得z'(y)=(2xz-y)/(z-2xy).代入dz=z'(x)dx+z'(y)dy即可.
另一问题同理.两边先取对数,得ylnz=zlnx,再对x求导得,yz'(x)/z=z/x+z'(x)lnx,由此即得z'(x).同理,两边对y求导,得lnz+yz'(y)/z=z'(y)lnx,由此即得z'(y),代入前式即可。

Answer 2