Question

数学题求解答

如图锐角三角形abc中点,h是三条高的交点,点d、e、f、g分别是ab、bh、ch、ac的中点.求证四边形defg是矩形.若角bac等于四十五度,求证四边形defg是正方形.

Answer 1

证明：因为锐角三角形ABC中点H是三条高(AP ,BN ,CQ)的交点,设EF交AP于M ,
所以角APC=角ANB=角BNC=90度
因为D ,E ,F ,G分别是AB ,BH ,CH ,AC的中点
所以DG ,EF,DE分别是三角形ABC和三角形BHC,三角形ABH的中位线
所以DG平行BC
DG=1/2BC
EF=1/2BC
EF平行BC
DF=1/2AH
DF平行AP
所以DG=EF
DG平行EF
所以四边形DEFG是平行四边形
角AMP=角APC
角AMP=角DEM
所以角DEM=90度
所以四边形DEFG是矩形
证明：因为角BAC+角ABN+角ANB=180度
角BAC=45度
角ANB=90度（已证）
所以三角形ANH是直角三角形
角ABN=角BAC=45度
所以AN=BN
因为角APC+角C+角NAH=180度
角APC=90度（已证）
所以角NAH+角C=90度
因为角BNC+角CBN+角C=180度
角BNC=90度
所以三角形BNC是直角三角形
角CBN+角C=90度
所以角NAH=角CBN
在三角形ANH和三角形BNC中
角NAH=角CBN（已证）
AN=BN（已证）
角ANH=角BNC=90度（已证）
所以三角形ANH和三角形BNC全等（ASA)
所以AH=BC
因为DF=1/2AH（已证）
EF=1/2BC（已证）
所以DE=EF
因为四边形DEFG是矩形（已证）
所以四边形DEFG是正方形

Answer 2

要图文并茂