Question

若多元函数在某点不连续，则在此点偏导数一定不存在 这句话对吗

Answer 1

错的。

多元函数中，函数f(x,y)在某点是否连续与f在该点处两个偏导数是否都存在两者没有关系！例如f=|x|+|y|；f=xy/(x^2+y^2)。

偏导数f'x(x0,y0)表示固定面上一点对x轴的切线斜率；偏导数f'y(x0,y0)表示固定面上一点对y轴的切线斜率。

可积函数的有界

任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。在其定义域上的每一点都不连续的函数。狄利克雷函数是处处不连续函数的一个例子。

若f(x)为一函数，定义域和值域都是实数，若针对每一个x，都存在ε>0 ，使得针对每一个δ>0，都可以找到y，使下式成立，则f(x)为处处不连续函数：0< |x−y|<δ 且|f(x)−f(y)|≥ε。

Answer 2

对的，函数既然间断了，那导数必然不存在
但多元函数连续性和可偏导性没关系，必须同时有可偏导且连续，可以推出可微，进而可以推出连续和可偏导。反之可微可以推出连续，其他什么都没有。

Answer 3

错的。多元函数中，函数f(x,y)在某点是否连续与f在该点处两个偏导数是否都存在两者没有关系！例如f=|x|+|y|;f=xy/(x^2+y^2)。答对请给赞蟹蟹

Answer 4

这句话是错的，可由逆否命题证明，既然你知道多元函数在某一点可偏导，并不能保证其在这一点连续。
那么根据其逆否命题可以得出，多元函数在某一点不连续，并不能保证其在这一点不能偏导。
例：xy/（x?＋y?）

Answer 5

错的 反例 分段函数f(x,y)
x*y/(x^2+y^2) , (x,y)!=0

0,(x,y)=0

偏导存在fx(0,0)=0 fy(0,0)=0 但不连续