Question

微积分，在线等 求矩阵A的特征值对应的特征向量

Answer 1

设矩阵A的特征值为λ，那么
|A-λE|=
-λ -1 1
-1 -λ 1
1 1 -λ 第3行加上第2行
=
-λ -1 1
-1 -λ 1
0 1-λ 1 -λ 第2列减去第3列
=
-λ -2 1
-1 -λ-1 1
0 0 1 -λ 按第3行展开
=
(1-λ)(λ^2+λ-2)=0
解得特征值λ=1，1，-2
当λ=1时，
A-E=
-1 -1 1
-1 -1 1
1 1 -1 r1+r3,r2+r3,交换行次序
～
1 1 -1
0 0 0
0 0 0
得到特征向量
(1,0,1)^T ,(0,1,1)^T
当λ=-2时，
A+2E=
2 -1 1
-1 2 1
1 1 2 r1+2r2,r2+r3
～
0 3 3
0 3 3
1 1 2 r1-r2,r2/3，交换行次序
~
1 1 2
0 1 1
0 0 0 r1-r2
～
1 0 1
0 1 1
0 0 0
得到特征向量(1,1,-1)^T
于是得到矩阵的特征值为1，1，-2
其对应的特征向量为(1,0,1)^T ,(0,1,1)^T，(1,1,-1)^T