Question

已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。试证明:(1)EC=BF;(2)EC⊥BF

Answer 1

（1）因为AE⊥AB,AF⊥AC

所以∠EAB=∠FAC=90 度

所以∠EAB + ∠BAC = ∠FAC + ∠BAC，即∠EAC=∠FAB。

又因为AE=AB、AF=AC，根据三角形定理：有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，可得△EAC全等于△BAF。

因为∠EAC=∠FAB，根据全等三角形两角相等那么两角所对应的边也相等，可得EC=BF。

（2）设BF与EC交叉于点O

第一问已求得△EAC全等于△BAF，根据全等三角形两边相等那么两边所对应的角也相等，得出∠ACE=∠AFB。

因为AF⊥AC，则∠FAC=90 度

所以∠AFC + ∠ACF = 90 度，即∠AFB + ∠BFC + ∠ACF = 90°

又，∠ACE=∠AFB，所以∠ACE + ∠BFC + ∠ACF = 90°

因为三角形内角之和等于180°

所以∠FOC = 90°，即EC⊥BF。

Answer 2

1.为你提供一个思路

∠EAC=∠FAB

EA=EB AC=AF

所以 △EAC与△BAF全等 所以 )EC=BF

2. ∠AEC+∠ACE+∠CAB=90°

又因为 ∠ABF=∠AEC

所以∠ABF+∠ACE+∠CAB=90°

所以∠FBC+∠ECB=90°

所以∠BMC=90°

所以EC⊥BF

Answer 3

证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵ AE=AB ∠EAC=∠BAF AF=AC ，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
由以上证明可得，△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
所以EC⊥BF．