Question

设函数(x)=ax^2lnx+b(x-1)(x>0),曲线y=f(x)过点(e,e^2-e+1)且在(1,0)处的切线方程为y=0

(1)求a,b的值
（2）证明：当x≥1时，f(x)≥（x-1)^2
（3）若当x≥1时，f(x)≥m(x-1)^2恒成立，求实数m的取值范围
多谢^_^

Answer 1

(1) f(x)=ax^2lnx+b(x-1)
　　f(e)=a*e^2+b(e-1)=e^2-e+1
　　(a-1)e^2+(b+1)(e-1)=0 （1）
　　f'(x)=2axlnx+ax+b
　　f'(1)=a+b=0 得： a=-b
　　将a=-b代入（1）：(-b-1)e^2+(b+1)(e-1)=0
　　(b+1)(e-1)=(b+1)e^2
　　b=-1 a=1
(2) f(x)=x^2lnx-(x-1)
　　设g(x)=x^2lnx-(x-1)-(x-1)^2
　　则 g(1)=0
　　∵ g'(x)=2xlnx+x-1-2(x-1)=2xlnx-x+1>=0 (x>=1)
　　∴ 当x>=1时，g(x)递增， g(x)>=0 即 f(x)≥（x-1)^2
(3) f(x)=x^2lnx-(x-1)>m(x-1)^2
　　设 F(x)=x^2lnx-(x-1)-m(x-1)^2
　　则 F(1)=0
　　F'(x)=2xlnx+x-1-2m(x-1)>=0
　　m <=(2xlnx+x-1)/[2(x-1)]
　　∵(2xlnx+x-1)/[2(x-1)]>3/2
　　∴m<=3/2