Question

已知f(x)=lnx-[a(x-1)/(x+1)],设m,n属于正有理数，求证:[(m-n)/(lnm-lnn)]<(m+n)/2

Answer 1

（一）函数f(x)=㏑x-[2(x-1)/(x+1)].(x≥1)求导得：f′(x)=(1/x)-[4/(x+1)²]=(x-1)²/[x(x+1)²]≥0.(x≥1).∴函数f(x)在[1,+∞)上递增。∴当x＞1时，f(x)＞f(1)=0.即当x＞1时，有f(x)＞0.即当x＞1时，有(㏑x)/2＞(x-1)/(x+1).（二）当m,n＞0且m≠n时，不妨设m＞n＞0.则m/n＞1.由前面的结论可知，[㏑(m/n)]/2＞[(m/n)-1]/[(m/n)+1]=(m-n)/(m+n).===>(m+n)/2＞(m-n)/(㏑m-㏑n).证毕。

Answer 2

设m>n (m-n)/(lnm-lnn)<(m+n)/2
两边除于n (m/n-1)/ln(m/n)<n(m/n+1)/2
设t=m/n>1 (t-1)/lnt<(t+1)/2
lnt>0 t+1>0
两边乘lnt 再除(t+1) (t-1)/(t+1)<lnt/2
2(t-1)/(t+1)<lnt 只要证明这个成立就行了
根据上面的a<=2时 f(X)是增函数
所以a=2时 f(x)=lnx-2(x-1)/(x+1）
因为t>1 f(t)>f(1)=ln1-0=0 f(t)>0 所以 lnt-2(t-1)/(t+1)>0 lnt>2(t-1)/(t+1)
等式成立