Question

分不清对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分

什么时候用对坐标的曲面积分什么时候用对面积的曲面积分？感觉两个公式差了好多，差了一个根号，但是不明白什么情况下用哪一个

Answer 1

对面积和对坐标的曲面积分，其积分变量分别为dS和dxdy（或dydz，dzdx及它们的和)，前者为小曲面面积，没有方向性，而后者是小曲面在坐标平面的投影，有方向性，这决定了对面积的曲面积分的被积函数为标量，而对坐标的曲面积分的被积函数为矢量。例如求曲面面积，曲面问题质量时用对面积的曲面积分，求流体穿过曲面的流量时用对坐标的曲面积分。

Answer 2

曲线积分与定积分，曲面积分与二重积分的区别：曲面积分、曲线积分都是给定了特定的曲线或者曲面的方程形式，意思是在曲线上或曲面上进行积分的，而不是像普通的二重积分和定积分那样直接在xyz坐标上进行积分，所以要将第一类曲线积分，第一类曲面积分通过给定的方程形式变换成在xyz坐标进行积分，另外既然给定了曲线或曲面方程，就可以根据方程把一个量表示成其他的两个量的关系，因为是在给定的曲线或曲面方程上进行积分的。
曲线或曲面的方程，所以各个量之间可以代换的，这个普通的定积分和二重积分不能这么做的。
第一类曲线积分：对线段的曲线积分，有积分顺序，下限永远小于上限。求解时米有第二类曲线积分简单，需要运用公式将线段微元ds通过给定的曲线方程形式表示成x与y的形式，进行积分，这个公式书里面有的，就是对参数求导，然后再表示成平分和的根式。
第二类曲线积分：对坐标的曲线积分，没有积分顺序，意思是积分上下限可以颠倒了。
第一类曲线积分和第二类曲线积分的关系：可以用余弦进行代换，余弦值指的是线段的切向量。