Question

设函数f(x)=e^mx x^2-mx证明f(x

Answer 1

• f(x)=e^mx+x²-mx

  f'(x)=me^mx+2x-m

  驻点x=0

  f''(x)=m²e^mx+2>0

  驻点x=0是极小值点，做减右增

  ∴f(x)在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增

• 由(1) x₁、x₂∈[-1,1]时，f(x)最小值=f(0)=1

  最大值=max(f(1),f(-1))

  f(1)=e^m+1-m f(-1)=e^-m+1+m

  令g(m)=e^m+1-m-(e^-m+1+m)=e^m-e^-m+2m

  g'(m)=e^m+e^-m+2>0

  ∴g(m)是增函数 g(0)=0

  m≥0时 g(m)≥0→f(1)≥f(-1)

  m<0时 g(m)<0→f(1)<f(-1)
  

  ∵|f(x₁)-f(x₂)|的最大值=f(x)的最大值-最小值
  

  ∴m≥0时 e^m+1-m-1≤e-1→m≤1 (m≥0 e^m-m是增函数）

  m<0时 e^-m+1+m-1≤e-1→m≥-1(m<0 e^-m+m是减函数）

• m的取值范围：|m|≤1
  

Answer 2

　　很难的高考压轴题