Question

求函数f(x,y)=xy(a-x-y)的极值(a#0)

Answer 1

解：
f'x=y(a-2x-y)=0, 得y=0, 或y=a-2x
f'y=x(a-x-2y)=0, 得x=0, 或x=a-2y
驻点有(0, 0), (0, a), (a, 0), (a/3, a/3)
A=f"xx=-2y
B=f"xy=a-2x-2y
C=f"yy=-2x
B²-AC=(a-2x-2y)²-4xy
当x=0或y=0时，有B²-AC>0, 不是极值点，因此只需判断驻点：
(a/3, a/3), A=C=-2a/3, B=-a/3, B²-AC=-a²/3<0, 因此它为极值点，当a>0时为极大值，当a<0时为极小值。
所以极值为f(a/3, a/3)=a³/27。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

f'x=y(a-2x-y)=0, 得y=0, 或y=a-2x
f'y=x(a-x-2y)=0, 得x=0, 或x=a-2y
解得驻点有(0, 0), (0, a), (a, 0), (a/3, a/3)
A=f"xx=-2y
B=f"xy=a-2x-2y
C=f"yy=-2x
B²-AC=(a-2x-2y)²-4xy
当x=0或y=0时，有B²-AC>0, 不是极值点，因此只需判断驻点：
(a/3, a/3), A=C=-2a/3, B=-a/3, B²-AC=-a²/3<0, 因此它为极值点，当a>0时为极大值，当a<0时为极小值。极值为f(a/3, a/3)=a³/27。