Question

在三角形ABC中，角ACB=90度，CQ是斜边AB上的中线，AC=6,AB=10,点P是BC边上的

在三角形ABC中，角ACB=90度，CQ是斜边AB上的中线，AC=6,AB=10,点P是BC边上的一个动点(与B、C不重合)，经过点P、Q的直线与直线AC交于点N，当BP为何值时，三角形PNC与ABC相似，并证明你得到的结论。
要求写出详解过程

Answer 1

AC=6,AB=10，所以BC=8

三角形PNC与ABC相似,所以CPN=ABC或CPN=CAB

CPN=ABC时，CPN=QPB=ABC,QB=QP=QC,不可能，排除
CPN=CAB时，CPN=QPB=ABC,PQB为直角，ABC与PBQ相似，PB:AB=QB:BC,BP=10*5/8=6.25

Answer 2

解：因为三角形PNC相似三角形ABC
所以角CPN=角A
因为角CPN=角BPQ（对顶角相等）
所以角BPQ=角A
因为角B=角B
所以三角形BPQ相似三角形BAX (AA)
所以角BQP=角ACB
因为角ACB=90度
所以角BQP=90度
所以三角形BQP是直角三角形
所以cosB=BQ/BP
在直角三角形ACB中，角ACB=90度
所以cosB=BC/AB
AB^2=AC^2+BC^2
因为AC=6 AB=10
所以BC=8
BC/AB=8/10=4/5
所以cosB=4/5=BQ/BP
因为CQ是斜边AB边上的中线
所以Q是AB的中点
所以BQ=1/2AB=5
所以5/BP=4/5
BP=25/4
所以当BP=25/4时，三角形PNC与三角形ABC相似

Answer 3

因为△PNC与△ABC相似
所以 ∠CPN=∠A
又因为 ∠CPN=∠BPQ (对顶角)
所以 ∠A=∠BPQ
因为 ∠A+∠B=90度
所以 ∠BPQ+∠B=90度
所以 PQ垂直AB
在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，AC=6,AB=10
所以 BC=8
cos ∠B=BC/AB=4/5
在直角三角形BPQ中,∠BQP=90度，BQ=1/2AB=5
cos ∠B=BQ/BP=4/5
所以 BP=5/4*BQ=25/4