Question

求解微积分的题目

Answer 1

1. 设a1=a, b1=b, 

   (1)当a=0时, 显然有a2=a3=...a(n+1)=0, bn=(-1)^(n-1)b/2^(n-1)

   lim(n->∞)an=0, lim(n->∞)bn=lim(n->∞)((-1)^(n-1)b/2^(n-1))=0

   lim(n->∞)an, lim(n->∞)bn存在且lim(n->∞)an=lim(n->∞)bn 结论成立

   (2)当b=0时, 显然有a2=a3=...a(n+1)=0, bn=0,

   由(1)直接可得 lim(n->∞)an, lim(n->∞)bn存在且lim(n->∞)an=lim(n->∞)bn=0 结论成立

   (3)当a≠0,且b≠0时, 由a2=√(a1b1)=√(ab) 可知ab>0, 即a,b同号.

            (i) 当a>0且b>0时, 由b2=(a1-b1)/2=(a-b)/2, 可知a>b

               此时结论不成立, 例如 a=10,b=1, a2=√10, b2=(10-1)/2=4.5

a3=3√5, b3=(√10-4.5)/2<0, a4及b5都无意义, 极限lim(n->∞)an, lim(n->∞)bn不存在. 

           (ii)当a<0且b<0时,  同理结论不成立.

此题目中如果 b(n+1)=(an+bn)/2 且a>=0,b>=0 则可证明结论成立.