平面几何题
M是△ABC边BC中点，MX⊥BC BY⊥AB CZ⊥AC 。使MX:BY:CZ=1/2BC:AB:AC 求证XYZ三点共线且X是YZ中点？ 展开
证明：
过A作AH⊥BC，垂足为H，过Y、Z向直线BC引垂线，垂足分别为S、T，
∵∠ABY=∠ACZ=90°
∴∠YBS+∠ABH=90°，∠ZCT+∠ACH=90°，
又∵∠YSB=∠BHA=90°，∠ZTC=∠CHA=90°，
∴Rt△YSB∽Rt△BHA，Rt△ZTC∽Rt△CHA，
∵SB=YB*sin∠BYS，CT=CZ*sin∠CZT，YB/CZ=AB/AC,
∴SB/CT
=(YB*sin∠BYS)/(CZ*sin∠CZT)
=(AB*sin∠ABH)/(AC*sin∠ACH)
=AH/AH
=1
∴SB=CT，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM
∴SM=TM，即M是ST的中点，……①
∵YS=YB*cos∠BYS，ZT=CZ*cos∠CZT，YB:MX:CZ=AB:(BC/2):AC=AB:BM:AC
∴(YS+ZT)/MX
=YS/MX+ZT/MX
=(YB*cos∠BYS)/MX+(CZ*cos∠CZT)/MX
=(AB*cos∠ABH)/BM+(AC*cos∠ACH)/BM
=BH/BM+CH/BM
=BC/BM
=2
∴YS+ZT=2MX……②
结合结论①和②，知MX是梯形ZTSY的中位线，即YX=XZ，且Y、X、Z必共线
得证！
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如果觉得理由不够充分，还可以再继续证明，不妨设AB＞AC，此时YS＞ZT，
过X作XO⊥YS，垂足为O，过Z作ZP⊥XM，垂足为P，
则，YO=YS-OS=YS-XM，XP=XM-PM=XM-ZT，OX=SM，PZ=MT，
由②知，YS-XM=XM-ZT，
∴YO=XP，OP=PZ
又∵∠YOX=∠XPZ=90°，
∴Rt△YOX≌Rt△XPZ，
∴∠XYO=∠ZXP，
∴∠YXZ
=∠YXO+∠ZXP+∠OXM
=(∠YXO+∠YOX)+∠OXM
=90°+90°
=180°
∴Y、X、Z共线，
又∵SM=MT，ZT‖XM‖YS，
∴由平行线等分线段定理，知
YX=XZ
即X是YZ的中点，且Y、X、Z共线，
得证！
后边的这部分只是更完整点儿，其实到分割线那里已经足够了，
如果还有疑问，欢迎再次提出！
谢谢！
稍后上图！
