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可导必定连续，所以要先证明连续。
x→0时，因为sin1/x有界，x²→0，所以x²sin1/x→0，lim（x→0) f(x)=0=f(0)，所以f（x)在x=0处连续。
而f ′＋(0)=lim（x→0+)( f(x)－f(0))/(x－0)=lim（x→0+)xsin1/x=0
f ′﹣(0)=lim（x→0﹣)( f(x)－f(0))/(x－0)=lim（x→0﹣)xsin1/x=0
所以f ′﹣(0)=f ′＋(0)，所以f ′(0)存在，因此f（x)在x=0处可导
x→0时，因为sin1/x有界，x²→0，所以x²sin1/x→0，lim（x→0) f(x)=0=f(0)，所以f（x)在x=0处连续。
而f ′＋(0)=lim（x→0+)( f(x)－f(0))/(x－0)=lim（x→0+)xsin1/x=0
f ′﹣(0)=lim（x→0﹣)( f(x)－f(0))/(x－0)=lim（x→0﹣)xsin1/x=0
所以f ′﹣(0)=f ′＋(0)，所以f ′(0)存在，因此f（x)在x=0处可导
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