Question

大学数学线性代数与解析几何

请教证明过程，谢谢！

Answer 1

跟刚才那题是一样的吧？
必要性。设a1...an为极大无关组，则任意a可由其线性表示。反证法。设对于某个a，有两个线性组合，使得
a=k1 a1+...+kn an=u1 a1+...+un an, ki 与 ui不全相等，则
(k1-u1)a1+...(kn-un)an=0, 其中 某个(ki-ui)不等于0,
则ai可由其余向量线性表示，与a1...an为极大无关组矛盾。

充分性。既然每个a都可由a1...an线性表示，a1...an必蕴含向量组Omega的最大无关组。只需证明a1...an线性无关。反证法。
若相关，则某个ai可由其余向量线性表示。设
a=k1 a1+...0 ai+.....+kn an
则 a=0.5 ai+0.5(k1 a1+...0 ai+.....+kn an)
=0.5 k1 a1+...0.5 ai+.....+0.5 kn an,
与a线性表示唯一矛盾。