如图,关于矩阵求解的问题,横线处的特解怎么得来的?求详细过程
2023-05-06
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这是典型的线性方程组,可以使用高斯-约旦消元法求解。将增广矩阵进行初等行变换,化为行简化阶梯形矩阵:$$\\left[\\begin{array}{ccc|c}1 \u0026 -3 \u0026 2 \u0026 -1\\\\0 \u0026 1 \u0026 -\\frac{7}{3} \u0026 \\frac{5}{3}\\\\0 \u0026 0 \u0026 0 \u0026 0\\end{array}\\right]$$可以发现,第三个未知数是自由未知数,而其它两个未知数均与第三个未知数成线性关系。于是可以选取第三个未知数为参数,设 $z=t$。根据矩阵方程的意义,我们有:$$\\left[\\begin{array}{c}x\\\\y\\\\z\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}1\\\\\\frac{5}{3}\\\\0\\end{array}\\right]+ t\\left[\\begin{array}{c}2\\\\-\\frac{7}{3}\\\\1\\end{array}\\right]$$这里,第向量是矩阵 $\\boldsymbol{A}$ 的特解,即:$$\\begin{aligned}\\boldsymbol{Ax} \u0026= \\boldsymbol{b}\\\\\\Rightarrow \\boldsymbol{A}\\left[\\begin{array}{c}1\\\\\\frac{5}{3}\\\\0\\end{array}\\right] \u0026= \\left[\\begin{array}{c}-1\\\\1\\\\2\\end{array}\\right]\\end{aligned}$$第二个向量则是齐次线性方程组 $\\boldsymbol{Ax}=\\boldsymbol{0}$ 的通解,即:$$\\begin{aligned}\\boldsymbol{Ax} \u0026= \\boldsymbol{0}\\\\\\Rightarrow \\left[\\begin{array}{c}x\\\\y\\\\z\\end{array}\\right] \u0026= t\\left[\\begin{array}{c}2\\\\-\\frac{7}{3}\\\\1\\end{array}\\right]\\end{aligned}$$因此,关于矩阵求解的问题,横线处的特解为:$$\\left[\\begin{array}{c}x\\\\y\\\\z\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}1\\\\\\frac{5}{3}\\\\0\\end{array}\\right]+ t\\left[\\begin{array}{c}2\\\\-\\frac{7}{3}\\\\1\\end{array}\\right]$$
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